Cinématique des fluides 

Il s'agit d'étudier le mouvement des particules de fluide sans faire intervenir les forces.


filet de fluide

2 points de vue sont possibles:

  • ou bien on suit l'evolution au cours du temps d'une petite particule de fluide se trouvant initialement dans une position donnée (description dite Lagrangienne)
  • ou bien , on décrit le champ de vitesse de l'ensemble du fluide à un instant t donné (descrition dite Eulerienne)

Dans le premier cas, les variables dite de Lagrange sont le temps et les trois composantes du vecteur position qui dependent naturellement aussi du temps. L'idée de suivre une particule de fluide est une extension naturelle des methode vu en mecanique du point.

Mais en hydrodynamique du fait de la diffusion moléculaire, l'identité d'une particule de fluide ne se conserve pas longtemps. On préfère donc en général une description Eulérienne qui est mieux adaptée à une vision globale du problème à un instant t.

Cette description Eulerienne consiste à décrire la répartition des vitesses v dans l'ensemble du fluide à un instant t donnée ou pour parler avec d'autres mots à décrire le champ des vitesses à un instant t. Dans ce cas le jeux de variables dont dépend le vecteur vitesse sont la position observée r et l'instant t d'observation. Le vecteur vitesse v est donc une fonction de r et de t qui sont ici deux variables indépendantes. v=v(r,t).


Accélération d'une particule de fluide


Nous cherchons à calculer l'accélération d'une particule de fluide donnée.

Entre t et t+dt, la vitesse v de cet élément variera et deviendra v+Dv et la position de la particule de fluide sera r+dr avec dr=v.dt

La variation du vecteur v(r,t) pour de petits déplacements dr=(dx,dy,dz) ou d'une variation de temps dt  vaut dv(r,t)

dv(r,t)=(∂v/x)dx + (∂v/y)dy + (∂v/z)dz +(∂v/t)dt

(expression de la différentielle ie dérivée)

or dx=vx.dt dy=vy.dt dz=vz.dt

donc pour la particule qui se trouvera en r à t la variation de vitesse sera Dv

Dv=(∂v/x)vx.dt + (∂v/y)vy.dt + (∂v/z)vz.dt +(∂v/t)rdt

et l'acceleration γ variation de la vitesse rapportée à la variation du temps vaut

γ = Dv/dt= (∂v/x)vx + (∂v/y)vy + (∂v/z)vz +(∂v/t)r

l'accélération s'écrit donc en utilisant les opérateurs vectoriels

γ= (v.grad) v + (∂v/t)r


Cette dérivée porte le nom de dérivée suivant le mouvement ou derivée particulaire.

le second terme à droite est parfois appelé dérivée locale

le premier terme a droite est parfois appelé dérivée convective car il est associé au mouvement du fluide


On pourra vérifier et on se contentra ici de l'admettre qu'on peut réécrire cette expression sous la forme

γ= 1/2 grad v2 - v^rot(v)+ (∂v/t)r



Cas particuliers

Ecoulement stationnaire:
On appelle écoulement stationnaire un écoulement pour lequel la vitesse v ne depend pas explicitement du temps.

on a alors v=v(r) et donc (∂v/t)r =0

Attention: cela ne signifie pas que la vitesse des différents éléments de fluide soit constante. Chaque élément de fluide peut être accéléré. C'est le champ des vitesses qui est constant (ce qui ne signifie pas homogène)

Pour un régime non stationnaire v dépendra explecitement de t

La turbulence (voir exemple 1 sur la figure) correspond au cas ou v varie erratiquement non seulement d'un point à un autre mais aussi en un point d'un instant à l'autre. Les regimes non turbulents qu'ils soient stationnaire ou non sont dits laminaires (voir exemple 2 sur la figure).


On appelle filet de fluide la ligne occupée à l'intant t par les differentes particules  issues d'un même point r0  aux instants antérieurs à t.

Pour visualiser de tel filet on introduit par exemple dans le courant une arrivée assez ponctuelle de fluide coloré. La coloration permet alors de visalisualiser le fliet de fluide.

On peut visualiser les trajectoires en introduisant de la poussiere d'aluminium (voir exemple 1 sur la figure) et faire de la photographie avec des longs temps de pose

On peut visualiser les lignes d'écoulement par la même méthode mais avec un temps de pose court puisque'alors les petits traits sont tangent à v

en régime stationnaire ces trois notions se confondent.


Conservation du fluide / Equation de continuité

La conservation de la masse d'un systeme bien défini est une des grande loi de la physique. Nous souhaitons trouver une equation locale traduisant cette conservation de la masse d'un fluide en mouvement.


Nous isolons un volume situé V autour d'un point P et séparer du reste du fluide par une surface S. La masse contenu dans ce volume est

M(t) = ∫∫∫ ρ(r,t) dτ

a priori c'est une fonction du temps.

la variation dans le temps de la masse contenu dans le volume V

vaut dM/dt = ∫∫∫ (dρ(r,t)/dt)  dτ

cette variation de la masse correspond à la masse dm qui a quitter ou est entrée dans le volume V en traversant S pendant le temps dt

estimons la:

la masse qui quitte le volume travers un élément de surface dS pendant l'intervalle de temps dt se trouvait dans un petit cylindre de hauteur n.v.dt et de section dS. La masse contenu dans ce cylindre vaut

d2m = ρ v dS dt  avec  dS = dS n

et donc en integrant sur toute la surface S

dm= dt ∫∫s ρ v dS


dM/dt =-dm /dt

∫∫∫v (dρ(r,t)/dt)  dτ  = - ∫∫s ρ v dS

nous utilisons maintenant le theoreme de Green Ostrogradsky (celui qui dit que la divergence d'un champ de vecteur dans un volume vaut le flux du champ a travers la surface qui isole ce volume) pour transformer le membre de droite de l'égalite

∫∫∫v (dρ(r,t)/dt)  dτ = - ∫∫∫v    div(ρ v) dτ


ce que nous pouvons simplifier en

div(ρ v) + dρ(r,t)/dt =0

Cette équation porte le nom d'equation de continuité et traduit la conservation de la masse. Pour un fluide incompressible dρ(r,t)/d=0

et alors l'équation se simplifie en div v = 0


Last modified: Wednesday, 4 February 2015, 12:59 PM