Définition d'un corps flottant

c'est un solide de forme quelconque en équilibre dans un liquide

La surface du liquide est aussi nommé plan de flottaison. Celui ci coupe le corps en deux et dessine sur le corps la ligne de flottaison. La surface délimitée par la ligne de flottaison s'appelle la flottaison. Le volume du corps flottant immergé est encore appelé carène.

On appelle déplacement le produit de la carène par la masse volumique du liquide = poids du liquide deplacé = poids du flotteur (théorème d'Archimède)

Le centre de poussée (ou centre de carène) est le barycentre du volume de la carène. Le centre de poussée est par définition en dessous de la ligne de flottaison, le centre de gravité du corps flottant peut lui se trouver au dessus ou en dessous.

 

Poussée d'Archimède

Cas où le corps est complètement immergé dans l'eau / Théorème d'Archimède

Considerons un solide délimité par une surface S et totalement immergé dans un fluide de masse volumique ρ.

Calculons la résultante des forces s'exercant sur le solide.

F= -∫∫s  P.dS avec dS= dS n

Par convention la normale est toujours prise sortante de la surface fermée d'où le signe "-"

Notons que la pression P à la même expression dans les deux problèmes évoqués sur les 2 figures. dans le premier cas le solide est totalement immergé dans le fluide incompressible, dans le second cas le même volume du fluide est supposé totalement occupé par le fluide incompressible.

Dans le référentiel du laboratoire muni d'un repère orthonormé (O,i,j,k) , on calcule la composante Fx de F sur l'axe (0,i )

Fx= F.i = -i. ∫∫s  P.dS  = - ∫∫s  (P i).dS

que l'on transforme en utilsant le théorème de Green Ostrogradski en

Fx = - ∫∫∫div(P i)dτ ou v est le volume délimité par S

et puisque Pi est aligné avec i et n'a pas de composante suivant y et z

la divergence se ramène ici à ∂P/x

Fx = -∫∫∫∂P/x

on peut faire de même avec les projections sur y et z et en regroupant les résultats

il vient

F= - ∫∫∫grad P

sur la figure de droite, le liquide est en équilibre et l'équation fondamentale de l'hydrostatique nous dit que grad P = ρg

et donc finalement

F=-∫∫∫v ρgdτ = -mavec m = ∫∫∫v ρ

d'où le résultat: la résultante des forces de pression exercées sur un corps totalement immergé dans un fluide est opposée au poids du fluide déplacé (théorème d'Archimède)

 

Cas d'un flotteur

En général le théorème d'Archimède est appliqué au cas d'un flotteur, c'est à dire un corps immergé dans deux fluides différents de masse volumique ρ1 et ρ2.

Comme la démonstration du théorème d'Archimède ne suppose pas l'homogénéïté du milieu, celle ci demeure valable: La résultante des forces de pression égale le poids du volume de fluide déplacé.

Le problème qui se pose est celui du point d'application de cette force de pression.

Dans le cas d'un flotteur le point d'application de la poussée est le barycentre de l'ensemble des fluides déplacés. 

Pour de petit inclinaisons du flotteur (roulis, tangage) les supports des forces de poussée passent pratiquement par un point fixe du flotteur appelé métacentre.

La position du flotteur est donc stable si le métacentre est situé au dessus du barycentre du flotteur.

Last modified: Tuesday, 2 April 2019, 12:19 PM