Soit donc un milieu continu c'est a dire une sorte de tissu d'éléments de matière voisin.

 La notion de champ scalaire ou vectoriel 

Lorsque dans une région de l'espace, on a attaché à chaque élément de matière une grandeur scalaire ou vectorielle, on a défini ce qu'on appelle un champ (respectivement scalaire ou vectoriel). Les exemples physiques sont nombreux: un champ de température dans une portion délimitée de l'espace (exemple de champ scalaire) , champ de pesanteur (exemple de champ vectoriel). La définition d'un champ exige aussi que l'on précise les limites de la région de l'espace concerné et en particulier les valeurs de la grandeur définissant le champ à ses limites. C'est ce qu'on appelle les conditions aux limites qui jouent un rôle essentiel dans la détermination du champ.

On dit qu'un champ est uniforme  si la grandeur définissant le champ a la même valeur en chaque point du champ à un instant donné)

On dit que le champ est stationnaire (ou encore permanent ou constant) si la valeur ou le vecteur en chaque point du champ est indépendant(e) du temps.

 

 Lignes de champ 

Considérons  désormais un champ de vecteur a. Une ligne de champ est , par définition, une courbe tangente en chaque point au vecteur a défini en ce point. Nous avons tous déjà matérialisé les lignes du champ magnétique d'un aimant avec de la limaille de fer.

Soit M un point de la ligne de champ et O l'origine du repère.

le vecteur a est donc par construction porté par la tangente en M à la courbe.

 

 Elément de surface 

Nous allons définir maintenant  ce qu'est un élément de surface.  Un élément de surface est délimité par un contour (une ligne qui se referme sur elle même). A l'élément de surface dS ainsi délimitée, on associe le vecteur élément de surface dS de la façon suivante:

dS=dS où dS est l'aire de l'élément de surface et le vecteur unitaire normal (=perpendiculaire) à la surface (orienté positivement). Il s'agit en fait d'un pseudo-vecteur car son signe change si on change l'orientation de la surface ou du contour qui la délimite.

Nous définissons la notion de  flux élémentaire noté dΦ d'un vecteur a à travers un élément de surface dS est la valeur scalaire. (pour imager, penser à un courant d'eau qui circule a travers un anneau)

=a.dS    

Pour un surface donnée Σ, le flux Φ du vecteur a à travers ∑ s'exprime donc par l'integrale Φ= ∫∫ a.dS

(intégraledouble car on intègre sur deux dimensions)

Dans la cas ou la surface est fermée (et délimite donc un volume ) le flux  est souvent qualifiée de flux sortant car conventionnellement, le vecteur normal n est en général orienté de l'vers l'extérieur.

 

 Opérateur vectoriel 

Etant défini un champ  de vecteur, celui ci en général peut varier dans le temps et l'espace. Son evolution dans le temps en un point donné fait intervenir la derivée (partielle) par rapport au temps dont la formation est immédiate (il suffit de la calculer). En revanche pour préciser l'evolution dans l'espace, il faut utiliser les derivées (partielles) sur les coordonnées d'espace.
On peut combiner ces dérivées partielles d'un facon judicieuses pour former les opérateurs différentiels. Il est hors du champ de ce cours de présenter tous les opérateurs existant. Nous en presentons trois.

 

Le gradient.

C'est une notion connue et assez familiere. Le gradient est un vecteur défini par la variation d'une certaine quantité en fonction d'une ou plusieurs variables spatiales. ex: gradient moléculaire en biologie du developpement traduire concentration de plus en plus grande d'un certzaine substance lorsqu'on se dirige dans uncertaine direction.

Le gradient est un operateur vectoriel qui definit une direction et une intensité de la variation

grad f = ∂f/x ex + ∂f/y ey + ∂f/z ez

 

La divergence.


Cette notion est directement liée aux variations spatiales d'un champ de vecteur a. Plus les lignes de champ divergent (s'écartent vite) plus la divergence de a , qui est un scalaire définit par

div (a) = ∂ax/x + ∂ay/y + ∂az/z

est élévée.


C'est donc un opérateur également assez palpable.

 

Le rotationnel

Cet opérateur est un peu plus difficile à apprehender. Il mesure la propension du champ de vecteur à tourner. C'est un opérateur vectoriel.

le vecteur est porté par l'axe autour duquel s'opère la rotation.

rot (a) = (∂az/∂y - ∂ay/∂z) ex (∂ax/∂z - ∂az/∂x) ey (∂ay/∂x - ∂ax/∂y) ez

 

Ci dessous sont représentés 4 champs de vecteur en 2D.

 

De gauche à droite, on a :
- div$ =$0 et rot$ =$0
- div$ \ne$0 et rot$ =$0
- div$ =$0 et rot$ \ne$0
- div$ \ne$0 et rot$ \ne$0

 

Tous ces opérateurs sont linéaires, ce qui signifie que

si f et g sont deux fonctions et β est un scalaire alors on a:

grad (f+g) =grad f +grad g

et que grad βf= β grad f

idem pour la divergence et le rotationnel.

 

Enfin et pour finir ce petit survol sur les operateurs "spatiaux"

voici Le théorème de Green-Ostrogradsky.

Que nous dit ce théoreme ? Si nous considerons un champ de vecteur au sein d'un volume fermé V délimité par une suface S et que la divergence au sein du volume est non nulle alors cette dispersion s'accompagne necessairement d'un flux équivalent sortant par la surface délimitant ce volume.

∫∫s  a.dS = ∫∫V  div (a) dτ

ou  représente l'élément de volume

 

 

Last modified: Wednesday, 5 April 2017, 12:51 PM