Nous venons d'aborder les notions de déformations et de contraintes. Nous abordons maintenant la relations qui doit nécessairement exister entre les deux lorsqu'un solide est chargé (= contraint).

1. Expérience de traction.

Sur un barreau de section rectangulaire, cotés de longueur a0 et b0. Deux traits distant de l0 délimitent une partie du barreau où les lignes de forces sont à X'X et le champ des contraintes uniforme.

Une machine de traction permet alors d'appliquer un effort suivant la direction X'X, d'intensité F lue sur un dynamomètre. Cela crée dans la partie centrale un état uniaxial de contraintes, la seule composante non  nulle de [Σ] étant σx = F/S =F/(ab).

La traction provoque une dilatation. la dilatation linéaires εxyz sont mesurée par des jauges de déformation jx, jy, jz. Les résultats expérimentaux sont les suivants:

a/ si l'on fait croitre F à partir de zéro, les fibres // à X'X subissent un allongement relatif εx=(l-l0)/l0 proportionnel à F, donc à σx = F/S. On note εx = σx/E définissant le coefficent positif E, homogène à une force surfacique et nommé module d'Young ou module d'elasticité.

b/ Si l'on fait decroitre F jusqu'à zéro , le point représentatif du diagramme déformation-contrainte figure2 revient en O par le meme chemin rectiligne. Le processus est ainsi réversible et il n'y a pas de déformation résiduelle. Un tel comportement ducmaterieau est dit élastique linéaire.

c/ on remarque que εy et εz restent egaux ente eux, proportionnel à εx et de signe contraire. On note ν le coefficient de proportionnalité entre εyz=-ν. εx. Ce coefficient est nommé coefficient de Poisson.

d/ Si la contrainte de traction σx dépasse un certain seuil σet, qu'on nomme limite élastique en traction, la realtion de proportionnalité disparait. Au dela de cette limite les déformation croissent plus rapidement que les contraintes. la loide comportement perd son caractere linéaire, ainsi que son caractère élastique (ou reversible); si l'on décharge un chemin rectiligne apre avoir franchi σet, alors lorsque σ devient nul , il reste une déformation résiduelle.

Si l'on fait croitre de facon importante σ au dela de σet alors on atteint la contrainte de rupture en traction σRT ou il y a rupture du matériau.

4/ Si l'on fait les mêmes essais en compression, on observe les mêmes phénomènes avec le meme module d'youg et le meme coefficient de poisson, l'existence d'une limite elastique en compression σEC  et l'existence d'une contrainte de rupture σRC.

Ces coefficents E , ν, σEC, σRC, σETRT sont des caractéristiques du matériau. L'intervalle de variation de σ entre σEC et σET constitue le domaine élastique du matériau.

Un materiau est dit fragile lorsque la plage fin élasticite -rupture est petite devant la valeur fin d'elasticite, c'est le cas du verre. Les materiaux qui ont au contrainre une large plage apres l'élasticité jusqu'à la rupture sont dit ductiles.


2. Loi de HOOKE

On vient de décrire une loi de comportement, obtenu pour une structure de forme très simple (parallèlépipede rectangle) et un chargement très simple (effort uniaxial). On voudrait maintenant en déduire une relation générale qui relie le tenseur des déformations et celui des contraintes.

on isole par la pensee un petit pavé dont les aretes sont orienté le long des directions principales des contraintes PX, PY, PZ. Les facettes de ce pavé sont donc soumises à des tractions pures ou compressions pures.

D'après les résultats précedents si σy=σz=0 et σx<>0, les allongements linéaires relatifs auront pour valeur

εx = σx/E  et  εy=εz = - ν.σx/E

On aura des résultats analogues par permutation circulaire sur les indices

du a σx seul du a σy seuldu a σz seul
valeur de εx   σx/E- ν.σy/E- ν.σz/E
valeur de εy- ν.σx/E  σy/E- ν.σz/E
valeur de εz- ν.σx/E- ν.σy/E   σz/E

Dans le cas plus général ou les trois contraintes principales sont non nulles, la linéarité des relations précédentes nous permet d'obtenir par superposition des trois états d'équilibre (imaginer qu'on applique la premiere contrainte puis la seconde, puis la troisième)

εx = σx/E - ν.σx/E - ν.σx/E   = 1/E [ σx - ν.y+σz)]

idem

εy = 1/E [ σy - ν. (σx+σz)]

εz = 1/E [ σz - ν. (σx+σy)]

on introduit souvent par commodité la grandeur s =  σx + σy +σZ

(qui représente la trace de la matrice deformation, la trace =somme des elements diagonaux)

le système d' équation précedent s'ecrit alors

εx = 1/E [ (1+ν)σx - ν. s]

εy = 1/E [ (1+ν)σy - ν. s]

εz = 1/E [ (1+ν)σz - ν. s]


qui traduisent la relation matricielle

  ε= (1+ν)/E  ∑   -  ν /E  s I    ou I est une matrice unité

les experiences de cisaillement pur, celle de la torsion d'un tube cylindrique par exemple, confirme l'exactitiude de cette formule.


Last modified: Wednesday, 4 February 2015, 12:59 PM