Dans cette partie nous voulons formaliser un peu la notion de contrainte dans un solide.

1. Vecteur contrainte

Isolons au sein d'un solide un élément de matière de forme cylindrique. L'axe du cylindre est dirigé selon le vecteur unitaire n. La section de ce petit cylindre vaut dS, son centre est P. La partie amont est indicée I, la partie aval indicée II.

la partie I exerce sur la partie II un ensemble de forces surfacique C (i.e. relative à l'unité de surface), dont on note C.dS la résultante. C comme vecteur contrainte en P, relativement à la direction n.


D' après le principe de l'action et de la réaction, l'action de la partie I sur la partie II vaut -C.dS.

La projection de C sur n, donc la composante normale à dS ou contrainte normale , vaut σ.

La projection de C sur le plan de dS, donc la composante tangentielle à dS ou contrainte tangentielle, vaut η.

L'angle entre C et n vaut θ

si θ=0 alors  η=0     la fibre en état de traction pure.

si θ=pi alors  η=0    la fibre en état de compression pure.

si θ=pi/2 alors  σ=0 la fibre est en état de cisaillement pure.

Pour chaque direction n existe un vecteur contrainte en P. L'ensemble de ces vecteurs contrainte constituent le faisceau des contraintes en P.

2. Matrice des contraintes

Dans un repere orthonormé {P,xyz}, on considere encore un élément de matière de forme cylindrique (fibre)  orienté selon l'axe x'x. On note Cx le vecteur contrainte en P relatif à cet axe,  σx la composante normale ηx la composante tangentielle. ηx est donc situé dans la plan yPz, nous notons ηxy et ηxz ses composantes sur les axes Py et Pz.

σx, ηxyηxz  désignent donc les trois composantes de Cx.

idem pour une fibre alignée selon y'y on a trois composantes σy, ηyxηyz

idem pour une fibre alignée selon z'z on a trois composantes σz, ηzxηzy

la matrice suivante [Σ] se nomme matrice des contraintes

| σx ηyx ηzx |
[Σ]= | ηxy σy ηzy |
| ηxz ηyz σz |

 

et ses vecteurs colonnes sont  Cx, Cy, Cz.

Note:

- Les contraintes sont des forces surfaciques ! l'unité légale est le Pascal abrégé Pa ou Newton par m2

- Le signe des contraintes normales a un sens physique σ>0 fibre tendue, σ<0 fibre comprimée. Le signe des composantes de cisaillement n'a pas de signification physique.

 

Cette matrice des contraintes est symétrique

et donc ηzx = ηxz  , ηyx = ηxy  , ηzy = ηyz

L'algèbre linéaire nous dit qu'une matrice symétrique est toujours diagonalisable, c'est à dire qu'il existe un repère orthonormé spécifique dans lequel la matrice des contraintes devient diagonale c'est à dire ou toute les composantes de cisaillement sont nulles. il existe donc des fibres dites fibres principales qui ne subissent aucun cisaillement mais sont uniquement sous l'effet de traction ou de compression.

 

Last modified: Thursday, 2 April 2020, 5:14 PM