Dans cette partie nous abordons la description géométrique de la déformation d'un milieu continu où les éléments de matière  voisins sont solidement attachés: le solide.

Les os par exemple ont des formes complexes et le chargement n'est rarement que pure traction ou pure compression. Flexion et compression sont souvent combinés. Lors d'une flexion il existe une surface dans lequel la matière ne subit pas d'élongation. La partie plus extérieur à cette surface est étirée, tandis que la matière plus intérieure est comprimée. Cette simultanéité des déformations nécessite d'introduire un certain formalisme pour le décrire. Ce que nous faisons:

1. Déplacement et déformation d'un élément de matière

Considérons un élément de matière centré en un point Po (xo, yo ,zo). Apres chargement (=application des contraintes) cet élément a subit un déplacement et une déformation.

Le point central P0 de cet élément de matière se trouve désormais en P1 (x1,y1,z1). Le point central a donc subit un translation de coordonnée

u=x1-x0

v=y1-y0

w=Z1-z0

On a vu dans le premier cours que tout déplacement peut être ramené à la composition d'une translation et d'une rotation. Ceci reste vrai mais nous avons cette fois un solide déformable. On peut donc s'attendre à montrer que le déplacement d'un point Q0 initialement proche de P0 sera, à une correction près, le même que le déplacement de P0. Cette correction est apportée en ajoutant potentiellement une petite rotation , un petit déplacement résultant de la déformation du matériau.

Ce point Q0 proche de P0 a pour coordonnées( x0+dx, y0+dy, z0+dz)

On cherche à exprimer le déplacement qu'il a subi c'est-à-dire Q0Q1 .

D'apres ce qu'on vient de dire, ce vecteur sera proche mais différent de P0P1

il aura donc des coordonnées de la forme (u+du, v+dv, w+dw)

 

Petit rappel mathématique

On rappelle que la dérivée d'un fonction f calculée en un point x0 est le coefficent directeur de la tangente à la courbe représentant cette fonction. On peut localement remplacer la fonction par un petit bout de droite. De fait en x0+dx, dx étant très petit,  la valeur de f(x0+dx) est proche de f(x0).

ce qu'on peut écrire

[ f(x0+dx) - f(x0) ] /dx = df/dx (x0)

A gauche du signe égal, on a le coefficient directeur de la tangente en x=x0 à la courbe, à droite la valeur de la dérivée en ce point. En isolant

f(x0+dx), il vient

f(x0+dx) =  f(x0) + df/dx (x0) * dx

on appelle cela une différentiation.

Lorsque la fonction dépend de plusieurs variables (spatiales par exemple en 2D ou en 3D) on admettra donc aisement qu'on peut étendre cette différentitation à tous les variables en dérivant par rapport à une seule variable à la fois. On parle dans ce cas de derivée partielle par crapport à chaque variable et le symbole est alors ð au lien du d "droit".

------------------ fin du rappel

 

on ecrira les differentiations de du, dv, et dw


du= (ðu/ðx) dx + (ðu/ðy) dy  + (ðu/ðz) dz

et

dv= (ðv/ðx) dx  + (ðv/ðy) dy  + (ðv/ðz) dz

dw= (ðw/ðx) dx + (ðw/ðy) dy + (ðw/ðz) dz

 

u+du  = u + (ðu/ðx) dx + (ðu/ðy) dy  + (ðu/ðz) dz

v+ dv = v+ (ðv/ðx) dx  + (ðv/ðy) dy  + (ðv/ðz) dz

w+dw = w+ (ðw/ðx) dx + (ðw/ðy) dy + (ðw/ðz) dz

 

ou sous forme matricielle

u+du | u |    | (ðu/ðx) (ðu/ðy) (ðu/ðz) | | dx |
v+dv = | v | + | (ðv/ðx) (ðv/ðy) (ðv/ðz) | . | dy |
w+dw | w |    | (ðw/ðx) (ðw/ðy) (ðw/ðz) | | dz |

 

soit {Q0Q1 } = {P0P1 } + [grad P0P1 ]. {P0Q0}

 

Le gradient de P0P1  peut se décomposer en une partie symétrique et une partie antisymétrique (comme toute matrice d'ordre 3 , pour ceux qui ont besoin de s'en persuader voir annexe à la fin de cette partie)

la partie antisymétrique correspond à une rotation

la partie symétrique à .... une déformation pure.

 

en conclusion:

Au cours d'une déformation quelconque d'un solide, tout domaine élémentaire, isolé par la pensée subit en son sein:

une translation de vecteur POP1

une rotation autour de P (d'angle 1/2 rot P0P1

une déformation pure caracterisée par un tenseur symétrique

La translation et la rotation sont des transforamtions de l'espace qui conservent les distances et les angles. Ce sont des isométries. Pour étudier séparément la déformation pure du petit domaine, nous nous placons dans un repère local qui est entrainé par cette translation et cette rotation. Ainsi et donc par rapport à ce repère la translation PoP1 et la rotation sont nulles.

{Q0Q1 }={P0P1}+ [R ]. {P0Q0 }+ [ξ]. {P0Q0}

qui se ramène dans ce repère à

Q0Q1 = [ξ].P0Q

où [ξ] représente un tenseur symétrique, appelé tenseur de la déformation pure

dont les composantes seront notées

du    | εx γxy γxz | | dx |
dv =    | γxy εy γyz | . | dy |
dw    | γxz γyz εz | | dz |

 

Quelle est la nature de ce tenseur [ξ] ?


c'est une application qui à tout élément de fibre d'origine P et de direction n, associe le vecteur déformation de cette fibre. d=ξ n

Dilatation et glissement.

isolons par la pensée un élement de fibre PQ de longueur l.

Au cours de la déformation , sa longueur varie de l0 à l1 et sa direction change, passant de n0 à n1

on définit alors pour cette fibre   ε=(l1-l0)/l0  que l'on nomme la dilatation linéique relative

et le vecteur  g = n1 -n0 = dn dont le module est appelé taux de glissement et est la mesure en radian de l'angle (n0,n1)

ε et g sont sans dimension  (et en général petit devant l'unité).

L'élément εx représente la dilatation linéique relative en P dans la direction de l'axe des x.


Puisque cette application est symétrique, il existe au moins un repère dans lequel l'expression de la matrice est diagonale.(théorème d'algèbre)

 

 

Annexe 1: décomposition d'un matrice d'ordre trois en une matrice symetrique et une matrice antisymétrique.

On rappelle qu'une matrice S est symétrique si elle est égale à sa transposée tS

On rappelle qu'une matrice A est antisymétrique si sa transposée vaut -A

Nous cherchons à décomposer une matrice M en une partie symétrique S et une partie antisymétrique A

M=S+A

la transposée de la matrice M  vaut alors

tM=tS+tA = S-A

et donc en ajoutant ces deux equations membre à membre

M+tM=S+A + S-A =2S

la partie symétrique vaut S=1/2 (M + tM)

la partie antisymétrique vaut A=1/2 (M- tM)

or une matrice antisymétrique est la matrice d'une rotation. En effet on rappelle que dans le plan la matrice d'une rotation d'angle θ est 

cos ( θ)   -sin ( θ)

sin( θ)     cos ( θ)

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fin annexe 1

 

Last modified: Thursday, 2 April 2020, 5:12 PM