Apres avoir tenter de décrire le champ des vitesses d'un fluide en mouvement,


Rappelons que pour décrire notre système de particules de fluide nous avons 4 inconnues en chaque point: la pression et les trois composantes de la vitesse. Nous avons donc besoin de 4 équations pour déterminer le système (et des conditions aux limites pour les integrer)

L'équation de continuité fournit une équation. Il en manque 3.

Nous cherchons maintenant à relier mouvement et force pour déterminer une équation (vectorielle) d'évolution similaire au premier principe de la dynamique en mécanique du point. Nous aurons ainsi 3 équations scalaires supplémentaires. Pour un fluide parfait (non visqueux) on applique le principe fondamental de la dynamique à un élément de fluide de masse dm contenu dans l'élément de volume dτ

dm (Dv/dt) = dRext  [1]

dRext est la résultante de tous les efforts extérieurs donc des forces de pression dFpression et des forces exterieures de volume dFext_vol

or nous avons deja établi que

dFpression= -(grad P) dτ

nous pouvons donc écrire en divisant [1] par dτ

ρ (Dv/dt) =fext -grad P   ou fext = dFext_vol / dτ  si on a seulement le champ de pesanteur  fextg

et on alors ρDv/dt = ρg -grad P

Cette équation est l'équation d'Euler qui décrit le mouvement d'un fluide non visqueux dans le champ de pesanteur.

Rappel: nous avons établi dans la partie cinématique que l'accéleration Dv/dt  d'un particule de fluide pouvait s'écrire

1/2 grad(v2) - v ^ rot v + (∂v/t)r


Ecoulement stationnaire d'un fluide incompressible: relation de Bernouilli

ecoulement stationnaire --> (∂v/∂t)r = 0

Si l'axe vertical est l'axe des z  alors g = -grad (gz)

et l'equation d'Euler devient

ρ {1/2 grad(v2) - v ^ rot v }D = -ρgrad(gz) -grad P

que l'on réecrit

grad(ρv2 /2  +ρgz +P ) - v ^ rot v = 0

on multiplie a droite et a gauche par v

le resultat du produit vectoriel v ^ rot v est un vecteur orthogonal à v donc le produit scalaire de ce vecteur par v vaut 0

il reste donc

v. grad(ρv2 /2  +ρ

Comme v est different de zero

c'est donc que grad(ρv2 /2  +ρgz + P )= 0

ou encore que ρv2 /2  + ρgz + P = Const.

Cette derniere relation est la relation de Bernouilli valable uniquement dans le cas d'ecoulement stationnaire d'un fluide incompressible.


Last modified: Wednesday, 4 February 2015, 12:59 PM